Les nombres entiers
Les nombres les plus simples sont les nombres entiers, en particulier les nombres entiers positifs. En mathématique, on parle d’ensemble de nombres et les entiers positifs sont dans l’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
Nous avons l’habitude de représenter les nombres avec le système décimal, c’est-à-dire que nous utilisons des suites de chiffres entre zéro (\(0\)) et neuf (\(9\)) pour représenter ces nombres. On dit que le système décimal est un système en base 10.
Quand nous écrivons la suite de chiffres \(123\), le \(1\) représente les centaines (\(10^2\)), le \(2\) représente les dizaines (\(10^1\)) et le \(3\) représente les unités (\(10^0\)).
De manière générale, si un nombre en base 10 est représenté par la suite de \(n\) chiffres :
alors la valeur du nombre \(N\) est :
- \(a_0\) est le chiffre le plus à droite et on l’appelle le chiffre de poids faible (LSD : Least Significant Digit). Ce chiffre représente aussi les unités du nombre.
- \(a_{n-1}\) est le chiffre le plus à gauche et on l’appelle le chiffre de poids fort (MSD : Most Significant Digit).
- \(n\) est le nombre de chiffres (Digit).
Le choix du système décimal (base 10) vient du fait que nous utilisons nos doigts pour compter et que nous en avons 10. Mais il est tout à fait possible de représenter des nombres avec une autre base. La civilisation Maya ainsi que les langues celtiques utilisaient la base 20 (Système vicésimal) et l’on en trouve aujourd’hui encore des traces dans le quatre vingts des Français.
On a vu plus haut que les ordinateurs n’ont que deux états (0 ou 1) pour représenter les nombres et c’est donc tout naturellement que les ordinateurs utilisent un système binaire (ou base 2).
un nombre en base 2 est représenté par la suite de \(n\) “bits” :
et sa valeur est :
Pour éviter toute confusion, on indique la base d’un nombre à l’aide d’un indice. Par exemple \(1101_2\) signifie le nombre \(1101\) en base 2, soit le nombre \(13\) en base 10. Pour plus de clarté, on peut aussi préciser la base 10 avec un indice (\(13_{10}\)), mais si on n’indique rien, alors on utilise la base 10.
Écrire un nombre en binaire peut s’avérer long et fastidieux. Par exemple \(1\,500\,000\,000\) devient \(1011001011010000010111100000000_2\) et ce n’est pas très pratique à écrire. Pour remédier à ça, les informaticiens utilisent souvent le système héxadécimal ou base 16. Comme 16 est une puissance de 2 (\(2^4 = 16\)), un “chiffre” de la base 16 correspond à 4 bits de la base 2. On peut donc facilement passer de la base 2 à la base 16 en faisant des groupes de 4 bits. En reprenant l’exemple précédent, \(1\,500\,000\,000\) est égal à \(101\,1001\,0110\,1000\,0010\,1111\,0000\,0000_2\)
Chaque groupe de 4 bits correspond à un “chiffre” en base 16 selon la table suivante :
| Groupe de 4 bits | “Chiffre” en base 16 | Valeur en base 10 |
|---|---|---|
| \(0000_2\) | \(0_{16}\) | \(0_{10}\) |
| \(0001_2\) | \(1_{16}\) | \(1_{10}\) |
| \(0010_2\) | \(2_{16}\) | \(2_{10}\) |
| \(0011_2\) | \(3_{16}\) | \(3_{10}\) |
| \(0100_2\) | \(4_{16}\) | \(4_{10}\) |
| \(0101_2\) | \(5_{16}\) | \(5_{10}\) |
| \(0110_2\) | \(6_{16}\) | \(6_{10}\) |
| \(0111_2\) | \(7_{16}\) | \(7_{10}\) |
| \(1000_2\) | \(8_{16}\) | \(8_{10}\) |
| \(1001_2\) | \(9_{16}\) | \(9_{10}\) |
| \(1010_2\) | \(\textrm{A}_{16}\) | \(10_{10}\) |
| \(1011_2\) | \(\textrm{B}_{16}\) | \(11_{10}\) |
| \(1100_2\) | \(\textrm{C}_{16}\) | \(12_{10}\) |
| \(1101_2\) | \(\textrm{D}_{16}\) | \(13_{10}\) |
| \(1110_2\) | \(\textrm{E}_{16}\) | \(14_{10}\) |
| \(1111_2\) | \(\textrm{F}_{16}\) | \(15_{10}\) |
La représentation hexadécimale de \(1\,500\,000\,000\) est donc \(5968\,2\textrm{F}00_{16}\).
Au lieu de regrouper les bits par groupe de 4, on peut les regrouper par groupe de 3 et on obtient ainsi la base 8 ou l’octal. L’intérêt de la base 8 est de pouvoir représenter les nombres avec les chiffres de \(0\) et \(7\) et de ne pas avoir besoin de lettres. Cette notation n’est cependant plus beaucoup utilisée aujourd’hui.
L’ensemble des nombres naturels peut être étendu avec les nombres négatifs. En mathématique on parle d’ensemble d’entiers relatifs et on le note \(\mathbb{Z}\). Un nombre négatif se distingue avec le symbole “\(-\)” placé devant le nombre.